Em teoria, como a volatilidade deve afetar o preço de uma opção binária Uma típica opção para fora do dinheiro tem valor mais extrínseco e, portanto, a volatilidade desempenha um fator muito mais perceptível. Agora vamos dizer que você tem uma opção binária com preço de 0,30 como as pessoas não acreditam que vai valer 1,00 no vencimento. Quanto a volatilidade afeta este preço A volatilidade pode ser alta no mercado, inflacionando o preço de todos os contratos de opções, mas as opções binárias se comportariam de forma diferente Eu ainda não olhei como elas são afetadas na prática ainda, apenas olhando para ver se elas seriam diferentes em teoria. Além disso, os binários CBOEs só estão disponíveis em índices de volatilidade, por isso fica um pouco redundante tentando determinar o quanto o valor da volatilidade afeta o preço das opções binárias sobre a volatilidade. O preço de uma opção binária, ignorando as taxas de juros, é basicamente o mesmo que o CDF phi (S) (ou 1-phi (S)) da distribuição de probabilidade terminal. Geralmente essa distribuição terminal será lognormal a partir do modelo Black-Scholes, ou próximo a ele. O preço da opção é C e intKinfty psi (ST) dST P e int0K psi (ST) dST A volatilidade amplia a distribuição e, sob o modelo Black-Scholes, muda seu modo um pouco. De um modo geral, o aumento da volatilidade aumentará a densidade na região de recompensa para as opções fora do dinheiro, aumentando assim o seu valor teórico. Assumindo que sua opção valia 0,30 devido a probabilidades e não altas taxas livres de risco r, mais volatilidade aumentará seu valor. Aumentar a densidade na região sem retorno para as opções de dinheiro, diminuindo assim o seu valor teórico. Uma opção agora vale 0,70 vai perder valor, como a probabilidade de terminar fora da região payoff é aumentada. Como volatilidade sigma abordagens infty, todos os preços das opções convergem para 0 para chamadas e 1 para puts. Na terra de Black-Scholes, mesmo que o termo frac para 0 ea distribuição de probabilidade esteja se estendendo até o infinito no lado positivo e negativo da exponencial de sua distribuição, concentra-se lognormalmente em valores menores que qualquer greve finita . Portanto, as chamadas fora do dinheiro terão um valor máximo com alguma volatilidade que concentre tanta probabilidade quanto possível abaixo da greve antes de concentrar a distribuição muito perto de zero. Editar. Um agradecimento enorme a Veeken para apontar que é out-of-the-money chamadas, em vez de coloca, que assumir um valor máximo teórico. Eu não entendo o que você quer dizer com 39flat39 skew no modelo BS. Assim que sigmagt0, há desvio no modelo BS. Permita-me lançar a primeira integral acima em termos BS: BinaryCashCall e N (d2) com d1, d2 dado aqui: en. wikipedia. orgwikihellip. Como sigma para infty, d1 para infty enquanto d2 para - infty. Isto torna N (d2) a 0, e assim faz o preço de chamada binário 0. Por simetria óbvia, a colocação binária vai para 1 no evento. Tudo isso está no mundo BS. Obrigado pelo seu tempo. Ndash Veeken May 8 13 at 20:48 Veeken: obrigado por apontar o erro. Por quotflat skew no senso de negociação de opções, quero dizer que um operador de opções iria perceber opção implicada vols para ser o mesmo em greves se os preços de opção foram gerados pelo modelo BS. No sentido de momentos distributivos, você está bastante certo de que o 3º momento (inclinação) é negativo para este modelo. É uma colisão infeliz de terminologia entre comerciantes e matemáticos que a mesma palavra é usada nos dois sentidos. Ndash Brian B May 10 13 at 0:35 Eu tenho uma prova matemática sem gráficos ou imagens. Suponha r0, o que queremos é ver o que acontece se a volatilidade mudar em EQ1. A última quantidade é Q (STgtK) Q (log ST gt log K). Em Q, sabemos que STS0 expleft (-frac12 sigma2T sigma WTright), então log ST é distribuído como N (log S0 - frac12sigma2T, sigma2 T). Então podemos escrever Qleft (sigma sqrt N log (S0) - frac12 sigma2T gt log Kright) que é igual a Qleft (Ngtfrac frac12 sigma2T direita). Como f (y) Q (Ngty) diminui em y, basta estudar yy (sigma) frac frac12 sigma2T. Se KgtS0 (fora da opção de dinheiro), então se sigma para 0, y (sigma) para infty eo mesmo acontece se sigma para infty. Portanto, há um mínimo para sigmasqrt. Deduzimos (por continuidade) que f (y (0)) 0, f (y (infty)) 0, e temos um máximo para sigmasqrt. Se em vez disso KltS0 (na opção de dinheiro), sigma para 0 dá - infty, sigmato infty ainda dá infty ea função y (sigma) é estritamente crescente. Então f (y (0)) 1, f (y (infty)) 0 ef é estritamente decrescente. Por fim, para uma opção de dinheiro S0K, temos f (y) Qleft (N gt frac12 sigma sqrt Tright), então f (0) frac 12 e f estritamente diminui para o valor 0. Espero que isso helps. Binary opção de chamada Vega Call opção vega mede a mudança no preço de uma opção devido a uma mudança na volatilidade implícita e é o gradiente da inclinação do perfil de preço de opções binárias de chamada versus volatilidade implícita. Esta página fornece a derivação da fórmula da opção de compra binária vega de primeiros princípios, ilustra a opção de compra binária vega com respeito ao tempo de expiração e volatilidade implícita, seguido pela própria fórmula. Taxas de juros zero são assumidas como de costume. A vega tem uma importância crucial na condução de gerenciamento de risco de carteira de opções binárias ou quando simplesmente tomar uma única posição especulativa. Para o mercado de opções que está conduzindo o gerenciamento dinâmico de risco de carteira, o vega é, na verdade, o que o mercado delta neutro está negociando, constantemente comprando e vendendo vol e protegendo os deltas através da negociação do subjacente. Assim, para o mercado-maker, saber que vega é o mesmo que um comerciante de futuros sabendo quantos contratos de futuros são longshort. O trader que usa opções binárias para ter visões direcionais precisa entender o efeito de vega uma vez que uma compra de chamadas binárias pode muito bem ser complementada com um aumento no subjacente, mas uma mudança na volatilidade implícita poderia afetar negativamente o valor da opção de chamada binária após o movimento. Opção de Opção Binária Vega e Vega Finita A vega V de qualquer opção é definida por: P preço da opção volatilidade implícita P a mudança no valor de P uma alteração no valor da Figura 1 mostra os perfis de preço da opção de compra binária sobre diferentes volatilidades implícitas . A Figura 2 mostra como, com sete preços subjacentes estáticos, as opções de chamadas binárias mudam de valor à medida que a volatilidade implícita aumenta de 1,0 para 45,0, então, na verdade, um perfil da Figura 2 é uma seção transversal vertical desse preço subjacente na Figura 1. O que também Pode ser reconhecido é que a legenda é invertida a partir da mesma ilustração em binário put opção vega. Isso porque em 99.75 no exemplo de opção de venda a opção está in-the-money, enquanto que com a opção de opção aqui, a opção é out-of-the-money. Quando o preço subjacente é 100,00 a opção está no dinheiro e as alterações na volatilidade implícita não tem qualquer efeito sobre o preço da opção binária como é sempre 50. O perfil de 18,0 da Figura 1 é o mais alto dos perfis quando out - Of-the-money (onde Slt100.00), mas o mais baixo dos perfis quando a opção de chamada binária é in-the-money (Sgt100.00). O que isto sugere é que à medida que a volatilidade implícita sobe a opção aumenta em valor quando fora do dinheiro (vega positivo) e diminui em valor quando em-o-dinheiro (vega negativo). Fig.1 Opção de chamada binária Perfis de preço w. r.t. Volatilidade implícita A Figura 2 mostra como as opções de chamadas binárias mudam de valor para um preço subjacente específico onde a volatilidade implícita é mostrada no eixo horizontal. O gradiente de um perfil individual para uma volatilidade implícita particular fornecerá o vega para essa opção de chamada binária. É evidente que abaixo do Valor Justo de 50, ou seja, quando as opções estão fora do dinheiro, o valor da opção aumenta à medida que a volatilidade implícita sobe ao longo do eixo inferior, significando perfis positivamente inclinados e, portanto, vegas positivo. Ao mesmo tempo acima do preço justo de 50 as opções estão caindo em valor à medida que a volatilidade implícita sobe, levando a perfis negativamente inclinados e vegas negativo. Como a volatilidade implícita continua a subir para 45,0 todos os perfis de concertina em torno de 50 e aplainar levando a vega muito baixo em volatilidades implícitas muito elevadas. Fig.2 Opções de Opção de Compra Binária Perfis de Preço com Preços Fixos Subjacentes A vega (como representada pela fórmula acima Eq (1) mede o gradiente das inclinações na Figura 2. A Figura 3 é o perfil de preços S99.75 que vai de 4.0 volatilidade implícita a 16,0 volatilidade implícita, é uma seção do perfil de 99,75 da Fig. 2. Os acordes foram adicionados centrado em torno de 10,0 volatilidade implícita de modo que, por exemplo, o acorde 6.0 se estende de 7,0 vol para 13,0 vol. Desde o perfil de preços está aumentando exponencialmente Gradiente (P2 P1) (2 1) P2 Valor de chamada binária em 2 P1 Valor de chamada binária em 1, isto é, Gradiente (42.4366 36.4953), e o gradiente do acorde é definido por: ) (13 7) 0,9902 conforme indicado na coluna t 6 da coluna central da Tabela 1. Fig. 3 Inclinação do Vega a 99,75 mais aproximação dos acordes de Vega Os gradientes do acorde de 10,0 e do acorde de 2,0 são calculados da mesma maneira e São também apresentados na Coluna da Tabela 1. Tabela 1 - De Gradiente de Chord para Call Vega À medida que a diferença entre as volatilidades implícitas estreita o gradiente tende para o vega de 0,9056 a 10,0 volatilidade implícita, ou seja, onde 0,0. O vega é, portanto, o primeiro diferencial do valor justo de chamada binária em relação à volatilidade implícita e pode ser declarado matematicamente como: como 0, V dP d o que significa que quando cai para zero o gradiente se aproxima da tangente (vega) do perfil de preços Da Figura 2 com uma volatilidade implícita de 10,0. Opção de chamada binária Vega w. r.t. Volatilidade implícita A Figura 1 ilustra os perfis de chamadas binárias de 4 dias para expirar com a Figura 4 fornecendo as vegas associadas para as mesmas volatilidades implícitas. Independentemente da volatilidade implícita a vega quando o dinheiro é sempre zero. Quando out-of-the-money a opção de compra binário vega é sempre positiva (como com out-of-the-money opções de chamada convencional), mas quando no dinheiro a opção de chamada binária vega é negativo (ao contrário no - Dinheiro chamadas convencionais). Fig.4 Opção de Chamada Binária Vega w. r.t. Volatilidade implícita Como a volatilidade implícita cai de 18,0 (onde os valores absolutos do vega são os mais baixos dos perfis) os picos e depressões das vegas aumentam absolutamente enquanto os picos e depressões se aproximam da greve. Opção de chamada binária Vega w. r.t. Tempo para Expiração Figuras 5 amp 6 fornecem as opções de compra binária perfis de preço ao longo do tempo para expirar com a opção de chamada binária associada vega. A vega máxima absoluta na Figura 6 é bastante estável em torno de 2,43, independentemente do tempo até à expiração, embora o tempo até a expiração determine o quão perto da batida o pico e calha em vega é. Fig.5 Opção de chamada binária Perfis de preço w. r.t. Tempo de expiração Fig.6 Opção de chamada binária Vega w. r.t. Tempo de expiração Independentemente do tempo para expirar a opção de chamada binária vega viaja através de zero para a razão agora familiar que binários no preço são fixados em 50, ou muito perto dele. Os pontos de destaque são: 1) Considerando que os vegas de opção de compra convencional são sempre positivos, uma vez que um aumento na volatilidade implícita sempre aumenta o valor da opção, o efeito de um aumento na volatilidade implícita com opções de compra binárias pode ser positivo ou negativo, Estão dentro ou fora do dinheiro. 2) Considerando que com as opções de chamada convencional vega é sempre em seu absoluto mais alto quando no-o-dinheiro, a opção de compra binário vega quando no-o-dinheiro é sempre zero. 3) Out-of-the-money opções de chamadas binárias têm positivo ou zero vega, in-the-money opções de opções binárias têm zero ou negativo vega. Binary Opção de Chamada Delta Delta opção binária mede a mudança no preço de uma chamada binária , Devido a uma alteração no preço do activo subjacente e é o gradiente da inclinação do perfil do preço de opções binário em relação ao preço subjacente do activo (o 8216 subjacente). De todos os gregos, a opção de chamada binária delta poderia provavelmente ser considerada a mais útil, pois também pode ser interpretada como a posição equivalente no subjacente, ou seja, o delta traduz opções, sejam opções individuais ou um portfólio de opções, em um equivalente Posição do subjacente. Uma opção de chamada binária com um delta de 0,5 significa que se o preço subjacente da ação sobe 1, então a chamada binária aumentará em valor por. Outra interpretação seria uma posição curta de 400 contratos em chamadas binárias SampP500 com um delta de 0,25 que seria equivalente a ser curto 100 futuros SampP500. É importante perceber que o delta está mudando dinamicamente como uma função de muitas variáveis, incluindo uma mudança no preço subjacente, e que uma mudança em qualquer uma dessas variáveis provavelmente causará uma mudança no delta. Portanto, se alguma ou todas as variáveis, incluindo o preço subjacente, o tempo de expiração e a volatilidade implícita, mudarem, então a opção acima não terá necessariamente um delta de 0,5 e aumento no valor ou a posição SampP equivalente será curta 100 futuros SampP500 . Esta praticidade e simplicidade de conceito contribui para deltas, fora de todos os gregos, sendo o mais utilizado entre os comerciantes, especialmente os criadores de mercado. O seguinte fornece uma análise de: o método de diferença finita para avaliar deltas, exemplos de utilização do delta para hedge, comparação de opções de chamada convencionais delta com opção de chamada binária delta e, finalmente, uma fórmula de forma fechada para a opção de chamada binária delta. Opção de Opção Binária Delta e Delta Finita O delta de qualquer opção é definido por: P preço da opção S preço do subjacente P uma mudança no valor de PS uma alteração no valor de S A Figura 1 mostra o perfil de preço de 1 dia de Uma chamada binária com a Figura 2 mostrando (em preto) o mesmo perfil de preços entre os preços subjacentes de 99,78 e 99,99. Fig.1 8211 Opções de Compra Binária Perfil de Preço Fig.2 8211 Valor Justo amp Delta Gradientes A corda azul 18 tickes viaja entre o ponto no perfil de chamada 9 ticks abaixo do preço de 99,90 a 9 ticks acima. O valor justo da opção de compra binária em 99.81 é 3.4592 e em 99.99 é 46.1739, conforme indicado na linha inferior da Tabela 1. O gradiente desse acorde é definido por: P 2 Valor de chamada binária em S 2 P 1 Valor de chamada binário em S 1 SInc Variação Mínima do Preço do Activo Subjacente, isto é, Gradiente (46.1739-3.4592) (99.99-99.81) x 0.01 como indicado na fila inferior da coluna central da Tabela 1. Os gradientes da corda de 12 tickes e da corda de 6 tick são calculados em Da mesma forma e também são apresentados na coluna central da Tabela 1. Tabela 1 - De Gradiente de Chord para Call Delta De Gradiente de Chord para Call Delta À medida que a diferença de preço se estreita, isto é, como S 0 (como refletido por S 0,06 e S 0,03) o gradiente tende para o delta de 2,4149 a 99,90. A opção de compra binária delta é, portanto, o primeiro diferencial do valor justo da opção de compra binária em relação ao subjacente e pode ser declarada matematicamente como: S 0, dP dS o que significa que quando S cai para zero o gradiente do perfil de preços se aproxima do Gradiente da tangente (delta) ao preço do ativo subjacente. Opção de Chamada Binária Delta e Volatilidade Implícita A Figura 3 ilustra os perfis de chamadas binárias de 5 dias com a Figura 4 fornecendo os deltas associados sobre uma gama de volatilidades implícitas como nas legendas. Na Figura 3 o perfil de valor justo é bastante raso em comparação com os outros quatro perfis que é refletido na Figura 4, onde o perfil 9 delta flutua apenas 0,16 de um delta de 0,22 nas asas para 0,38 quando no dinheiro e é O mais plano dos cinco perfis delta. Na Figura 3, com a volatilidade em 1 e subjacente abaixo de 100, há pouca chance de a chamada binária ser uma aposta vencedora até que o subjacente se aproxima da greve, onde o perfil de preços aumenta bruscamente para viajar até 0,5 antes de nivelar para fora de curto O preço de chamada binária de 100. Fig.3 8211 Opção de Compra Binária Fair Value wrt Volatilidade O delta 1 na Figura 4 reflete essa mudança dramática do preço da chamada binária com o perfil delta 1 mostrando delta zero seguido por um delta de acentuada elevação como o preço do chamado binário muda drasticamente ao longo de uma pequena mudança no subjacente, seguido por um delta acentuadamente decrescente Como a opção de chamada binária delta reverte para zero como a chamada binária níveis fora ao preço mais elevado. Para a mesma volatilidade o delta da chamada binária que é de 50 ticks in-the-money é o mesmo que o delta do binário call 50 ticks out-of-the-money. Em outras palavras, os deltas são horizontalmente simétricos em relação ao subjacente quando estão no dinheiro, isto é, quando o subjacente está em 100. Fig.4 Opção de Chamada Binária 8211 Delta w. r.t. Volatilidade implícita Esta característica da opção de chamada binária delta quando no dinheiro é a da função Dirac delta, ou função, onde a área abaixo do perfil é 1. Isso significa que a opção de chamada binária delta quando no dinheiro e com O tempo de expiração ou volatilidade implícita aproximando zero pode se tornar infinitamente alta com uma área total de um sob o pico. Esta característica, obviamente torna delta neutro hedging como impraticável quando a opção de compra binária é no dinheiro com muito pouco tempo para expiração ou extremamente baixa volatilidade implícita. Na prática, essas condições e uma posição de chamada binária de curto prazo na Apple Inc exigiria que o comerciante delta neutro lance para a empresa para obter plano Opção de chamada binária Delta e tempo de expiração na ilustração acima (Fig. 4) o delta 1,00 picos fora da escala em 3,41, mas este valor aumenta acentuadamente como o tempo de expiração diminui de 5 dias. As figuras 3 amp 5 ilustram perfis de preços de chamadas binárias que sempre têm uma inclinação positiva, de modo que as opções de chamada binária delta são sempre positivas. Fig.5 8211 Opção de Compra Binária Fair Value w. r.t. Tempo até à expiração O perfil de preço de 25 dias na Figura 5 tem o maior tempo para expirar e, subseqüentemente, tem a engrenagem mais baixa ilustrada na Figura 6 pelo perfil delta de menor valor. Fig.6 Opção de Chamada Binária 8211 Delta w. r.t. Prazo até a expiração As opções de chamada binária (e put) de curto prazo proporcionam a maior engrenagem de qualquer instrumento financeiro, como ilustrado pelo perfil de preços extremamente elevado da Figura 5 e seu delta associado na Figura 6. Os picos do delta de 0,1 dias em 4,82 que Basicamente oferece gearing de 482 em comparação com a engrenagem 100 de uma posição futura longa. Diminuir a volatilidade e diminuir o tempo de expiração têm um impacto semelhante sobre o preço de uma opção binária que é corroborada pelos perfis semelhantes delta das Figuras 4 amp 6. A Tabela 2 mostra 10 dias, 5 preços de opção binária de opção de volatilidade com deltas. Tabela 2 - Valor justo da Opção de Compra Binária com Delta associado A 99.87 a chamada binária vale 43.5921 e tem um delta de 0.4764. Portanto, se o subjacente sobe três carrapatos de 99.87 para 99.90 a chamada binária aumentará em valor para: 43.5921 3 x 0.4764 45.0213 Se o subjacente caiu 3 carrapatos de 99.93 para 99.90 a chamada binária seria vale: 46.4641 (-3) x 0.4805 45.0226 A 99.90 o valor de chamada binária na Tabela 2 é 45.0250 assim há uma ligeira discrepância entre os valores calculados acima eo valor verdadeiro na tabela. Isso ocorre porque os deltas de 0,4764 e 0,4805 são os deltas para apenas os dois níveis subjacentes de 99,87 e 99,93 respectivamente, ou seja, os deltas mudam com o subjacente. Em 99,90, o delta é 0,4788, portanto o valor de 0,4764 é muito baixo quando se avalia o movimento ascendente de 99,87 para 99,90, enquanto que o delta de 0,4805 é muito alto quando se avalia a variação no preço de chamada binária quando o subjacente cai de 99,93 para 99,90. A média dos dois deltas em 99,87 e 99,90 é: (0,4764 0,4788) 2 0,4772 e se este número fosse usado no primeiro cálculo acima, então a chamada binária em 99,90 seria estimada como: 43,5921 3 x 0,4772 45,0237 um erro de 0,0013. O delta médio entre 99.90 e 99.93 é: (0.4788 0.4805) 2 0.47965 O segundo cálculo acima geraria agora um preço em 99.90 de: 46.4641 (-3) x 0.47965 45.02515 um erro de apenas 0.00015. A seção sobre a opção de chamada binária gamma fornecerá as respostas a respeito de por que essa discrepância ainda existe. Hedging com Opção de Chamada Binária Delta Se os números na Tabela 2 relacionam-se a um futuro de ligação, então pode não ser razoável oferecer uma opção binária nesse futuro com um valor de liquidação de 1000 igual a 10 por ponto. Exemplo. Um trader de opções binárias compra 100 contratos do binário de 100 buracos com 10 dias para expirar com a futura negociação em 99,87 a um preço de 43,5921, custando um total de: 43,5921 x 10 x 100 contratos 43,592.10 Como o comerciante evita o imediato direcional Exposição 100 contratos da opção com delta de 0.4764 equivale a uma posição de 47.64 futuros a preço de futuros de 99.87 assim que o comerciante vende 48 futuros para hedge (apenas não possível vender 0.64 de um futuro. O preço de opção de 43.5921 foi chegado a Pela média em) 1) o futuro cai para 99.81 onde a opção vale 40.7518 assim que a posição PampL é agora: A opção de opção binária perde: 40.7518 43.5921 -2.8403 que iguala a uma perda de: -2.8403 x 10 x 100 contratos -2.840.3 qual Equivale a um lucro de: -0,060.01 x 10 x -48 2.880 um lucro global de 39.70 2) o futuro sobe para 99.93 onde a opção vale 46.4641 assim que a posição PampL é agora: Binary Call Opções ganhos: 46.4641 43.5921 2.8720 que Equivale a um profi T de: 2,8720 x 10 x 100 contratos 2 872,00 o que equivale a uma perda de: 0,060,01 x 10 x -48 -2,880 uma perda global de 8,00. Esta perda no lado positivo pode ser explicada pelo over-hedging de 48 futuros em oposição a 47,64 futuros. Se 47,64 futuros foram usados (um spreadbet talvez), em seguida, o lucro downside global seria reduzido para 18,10, enquanto a perda de upside de 8,00 se transformaria em um lucro de 13,60. O uso constante de deltas para hedging desta forma é vital para um mercado de opções. Que usando uma cobertura de 47,64 produz um lucro em ambos os lados de cima e de baixo é o impacto da gama, neste caso gamma positivo. Opção de chamada binária Delta v Opção de chamada convencional Delta As figuras 7a-e ilustram a diferença ao longo do tempo entre os deltas de opção de chamada binária e seus primos convencionais para aqueles já familiarizados com convencionais. Fig.7a 8211 Amplificador binário de 25 dias Chamada convencional Delta Fig.7b 8211 Amplificador binário de 10 dias Opção de chamada convencional Delta Fig.7c 8211 Amplificador binário de 4 dias Opção de chamada convencional Delta Fig.7d 8211 Amplificador binário de 1 dia Opção de chamada convencional Delta Fig.7e 8211 Amplificador binário de 0,1 dia Opção de chamada convencional Delta Os pontos de observação são: 1) Considerando que os deltas de chamada convencionais são limitados a um valor de 0,5 quando a opção está no dinheiro, a chamada binária está no seu máximo quando 2) Quando o tempo de expiração for maior que 1 dia (Figs.7a-c), a engrenagem da opção de chamada binária é menor do que o valor de Convencional, mas quando o tempo de expiração é reduzido (Figs.7d-e), o delta da chamada binária torna-se maior do que o valor máximo de 1,0 da opção de chamada convencional. 3) O perfil delta de opção de chamada convencional lembra o preço da chamada binária. 4) A substituição de uma gama de volatilidades implícitas em vez dos tempos de expiração proporcionaria um conjunto semelhante de ilustrações das Figs.7a-e.
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